Senin, 14 November 2011

Cara cepat mencari sisa pada suku banyak

Meskipun judulnya seperti itu, cara cepat ini tentu tidak bisa digunakan di setiap soal yang ditemui.
Pembahasan kali ini akan ditujukan ke pembagian suku banyak. Sebelum beranjak ke pembagian suku banyak, kita lihat dulu mengenai pembagian biasa.
Tentu kita sudah hafal betul bagaimana pembagian itu. Jika ada 10 dibagi 5 maka hasilnya 2. Jika 13 dibagi 3, berapa hasilnya?
tentunya kita tetap menjawab 13/3. Tetapi hasil yang kita inginkan kali ini (sebagai ilustrasi pada suku banyak) adalah bulat. Sehingga jika 13 dibagi 3 maka hasilnya adalah 4 sisa 1.


  
Sisa. Sekarang kita bekerja dengan suatu sisa. i
Misalnya :
43/6=7 sisa 1, dan sebagainya.

Bentuk umum, bisa kita lihat di sini :
    
\bilangan=\pembagi \times \hasil + \sisa

Jika kita beri simbol, N untuk suatu bilangan, P sebagai pembagi dan H sebagai hasil dan S sebagai sisa (tentu S dini bernilai 0 sampai P-1). Maka bentuk tersebut bisa kita tuliskan :

N=P \times H+S

Konsep ini juga digunakan pada suku banyak. Pembagian suku banyak juga memegang hal ini. Untuk suku banyak bervariabel x, maka bentuk tersebut kita rubah sedikit, menjadi :

F(x)=P(x) \times H(x)+S(x)

Meskipun sisa terkadang hanya berupa konstanta. Tentu masalah simbol tidak perlu begitu diperdebatkan.
Satu hal lagi yang perlu depegang tentang sisa pembagian suku banyak. Sisa pada suku banyak berderajat lebih kecil satu dari pada derajat pembagi suku banyak.

Untuk beberapa contoh masalah pembagian suku banyak, tentu dibahas pada tulisan lain di blog ini. Karena yang akan dibahas di sini adalah cara cepat untuk mencari sisa. Lalu, cara cepat pada suku banyak yang seperti apa yang akan dibahas di sini?
Cara cepat yang dimaksudkan adalah cara cepat untuk menyelesaikan soal berikut :

Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x-1) maka bersisa 2. Jika suku banyak tersebut dibagi (x-2) maka bersisa 4. Tentukan sisa dari suku banyak tersebut jika dibagi (x-1)(x-2)!

Soal seperti itu, tentu saja bisa dikerjakan dengan cara seperti ini.

F(x)=(x-2) \times H(x)+4
F(x)=(x-1) \times I(x)+2

Ambil x=2 untuk persamaan pertama dan x=1 untuk persamaan kedua

F(2)=(2-2) \times H(x)+4
F(2)=4

F(1)=(1-1) \times I(x)+2
F(1)=2

Sekarang kita perhatikan ini :

F(x)=(x-1)(x-2) \times I(x)+ (mx+n)

Untuk x=1
F(1)=(1m+n)
Untuk x=2
F(2)=(2m+n)

Sehingga kita peroleh dua persamaan dengan dua variabel :

m+n=2 dan 2m+n=4. Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh :
m=2 dan dengan melakukan substitusi, kita peroleh n=0

Jadi, kita peroleh jawabannya yaitu sisa dari suku banyak f(x) jika dibagi (x-1)(x-2) adalah 2x


Cara ini sebenarnya sudah mudah, tetapi ada penulisan yang sedikit disingkat (atau cara yang agak cepat). Perhatikan sooalnya :

f(x) jika dibagi (x-2) maka bersisa 4.
f(x) jika dibagi (x-1) maka bersisa 2.
Tentukan sisa dari suku banyak tersebut jika dibagi (x-1)(x-2)!
 
Tentunya dengan cepat kita menjawab, sisanya adalah mx+n dengan m adalah 4-2 (sisa dikurangi sisa) dibagi 2-1 (pembagi, diperoleh dari (x-2) dan (x-1)) hasilnya 2 dibagi 1 sama dengan 2.
Dan n adalah 4 (sisa salah satu suku banyak) dikurangi 2 \times 2 (pembagi dikalikan dengan m) sama dengan 4-4=0
Jadi, sisanya sama dengan 2x+0
 
 
Contoh soal lain :
 
g(x) jika dibagi (x-4) maka bersisa 23.
g(x) jika dibagi (x+2) maka bersisa 5.
Tentukan sisa dari suku banyak tersebut jika dibagi (x-4)(x+2)

Jawab : Sisanya adalah mx+n
Dengan m= \frac{23-5}{4-(-2)}= \frac{18}{6}=3
Dan n=23-(4 \times 3)=11

Jadi, sisanya adalah 3x+11

Dari mana nilai -2 pada baris ketiga di atas baris ini? Ini diperoleh dari (x+2). Bentuk standartnya adalah (x-(-2)). Seperti itu.
 
 
Bagaimana sih langkah ditemukannya rumus cepat ini? Sebenarnya ini bukan rumus cepat. Ini adalah rumus biasa yang hanya penulisan langkahnya dipermudah. Jadi, ya sedikit meringankan orang-orang yang lebih suka menggunakna rumus cepat. Padahal soal ini hanya bisa diterapkan pada soal-saol yang seperti itu saja.
Langkah mendapatkan rumus cepat ini adalah dengan melakukan proses, tetapi angka yang digunakan diperumum. Jadi, seperti ini :

f(x) jika dibagi (x-a) maka bersisa j.
f(x) jika dibagi (x-b) maka bersisa k.
Tentukan sisa dari suku banyak tersebut jika dibagi (x-a)(x-b)

Dengan cara seperti sebelumnya, maka :

F(x)=(x-a) \times H(x)+j
F(x)=(x-b) \times I(x)+k

Ambil x=a untuk persamaan pertama dan x=b untuk persamaan kedua

F(a)=(a-a) \times H(x)+j
F(a)=j
 
F(b)=(b-b) \times I(x)+k
F(b)=k
 
Sekarang kita perhatikan ini :
 
F(x)=(x-a)(x-b) \times I(x)+ (mx+n)
 
Untuk x=a
F(a)=(am+n)
Untuk x=b
F(b)=(bm+n)
 
Sehingga kita peroleh dua persamaan dengan dua variabel :

am+n=j dan bm+n=k. Jika kedua persamaan kita kurangkan, maka kita peroleh :
m=(j-k)/(a-b) atau m=(k-j)/(b-a). Sedangkan n=j-am atau n=k-bm

Sederhana bukan. Tetapi saya sarankan untuk berhati-hati dengan rumus cepat. Karena tentu akan membuat kita bingung jika soal yang kita kerjakan tidak cocok dengan rumus cepat kita. untuk rumus cepat ini hanya bisa berlaku untuk kasus seperti soal-soal yang dibahas di sini saja. tipe soal yang sama bisa dikerjakan dengan rumus cepat mencari sisa pembagian suku banyak ini. Tetapi jika tipe soalnya berbeda, maka kita tidak bisa menggunakan rumus cepat ini.
Diposting oleh Nurina Kurniasari Rahmawati di 00.01

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)