Senin, 14 November 2011

Bilangan kompleks dan sifat-sifatnya

Bilangan kompleks dituliskan sebagai a+bi
Jika z=a+bi merupakan suatu bilangan kompleks, maka a adalah bagian nyata dan b adalah bagian imajiner. Ingat a dan b di sini adalah bilangan real.
Jadi bisa dituliskan
R(z)=a dan I(z)=b


Jika R(z)=0 dan I(z) \ne 0 maka disebut bilangan kompleks murni
Jika R(z)=0 dan I(z)=1 atau dituliskan sebagai z=i disebut satuan khayal 



Kesamaan bilangan kompleks
Jika z=a+bi, maka z_1=z_2 yaitu jika
a_1=a_2 dan b_1=b_2


Jumlah pada bilangan kompleks yaitu
z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i


Perkaliannya
z_1 \times z_2=(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i


i^2=-1


Di dalam bilangan kompleks juga dikenal bilangan nol, yaitu merupakan identitas penjumlahan, yaitu 0+0i
Dan identitas perkaliannya adalah 1+0i


Lawan penjumlahannya, -z
Jika z=a+bi maka -z=-a-bi
Kebalikan dari z, yaitu \dfrac{1}{z}
z^{-1}= \dfrac{x}{x^2+y^2}- \dfrac{y}{x^2+y^2}i


zz^{-1}=1


Sekawan (Conjugation)
Jika z=a+bi adalah bilangan kompleks, maka sekawannya (conjugation) dari z adalah \bar z =a-bi


Sifat-sifat bilangan kompleks


Komutatif
z_1+z_2=z_2+z_1
z_1z_2=z_2z_1


Asosiatif
z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3
z_1(z_2z_3)=(z_1z_2)z_3


Distributif
z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3


Distributivitas kesekawanan
\overline{z_1+z_2}= \bar z_1+ \bar z_2
\overline{z_1-z_2}= \bar z_1- \bar z_2
\overline{z_1z_2}= \bar z_1 \bar z_2
\overline{z_1/z_2}= \bar z_1/ \bar z_2


\overline{ \overline{z}}=z


z \bar z=[R(z)]^2+[I(z)]^2


Beberapa soal :
Tuliskan dalam bentuk A+Bi untuk \dfrac{1+i}{1-i}
Jawaban :
\dfrac{1+i}{1-i}= \dfrac{1+i}{1-i} \dfrac{1+i}{1+i}= \dfrac{1+2i+i^2}{1-i^2}= \dfrac{2i}{2}=i
Maka \dfrac{1+i}{1-i}=0+i


Pangkat bulat tak negatif pada bilangan kompleks didefinisikan seperti pada bilangan nyata, yaitu
z^1=z
z^2=zz
z^3=z^2z
\dots
z^{n+1}=z^nz
Dan bila z \ne 0, maka z^0=1
Diposting oleh Nurina Kurniasari Rahmawati di 02.54

0 komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)